پاسخ سوال شماره 1
S را مجموعه آرايشهايي فرض كنيد كه در هريك از آنها يا
الف) همه نقطه ها قرمز اند و تعداد نقطه ها بر 3 بخشپذير نيست ، يا
ب) تعداد نقطه هاي آبي عددي زوج است و اگر زنجيره و اگر زنجيره نقطه هاي قرمز بين نقطه هاي آبي متوالي را در صورت وجود به ترتيب با + و- برچسب گذاري كنيم آنگاه n-m بر 3 بخشپذير نيست ، كه در اينجا n مجموع طولهاي زنجيره هايي از نقطه هاي قرمز است كه با + برچسب خورده اند و m مجموع طولهاي زنجيره هايي از نقطه هاي قرمز است كه با منفي برچسب خورده اند .
توجه كنيد كه تعريف قسمت (ب) از نحوه برچسب گذاري مستقل است ، زيرا تغيير در برچسب گذاري فقط علامت n-m را عوض ميكند.
به سادگي ميتوان تحقيق كرد كه همه آرايشهاي در S را ميتوان با انجام تغييرات مجاز از آرايش اوليه بدست آورد . علاوه بر اين ميتوان همه آرايشهايي را كه تعدادي زوج نقطه آبي دارند به آرايشي كه دو نقطه آبي دارد تبديل كرد و بلاخره ميتوان همه آرايشهايي را كه تعدادي نقطه فرد آبي دارند به آرايشي كه سه نقطه آبي دارد تبديل كرد.
