دختر تیز هوشا

«اعداد» را مي‌توان به دسته‌هاي مختلفي نظير ذيل تقسيم كرد:

	- اعداد «گنگ» (Irrational) و «گويا» (Rational)
	- اعداد «حقيقي» (Real) و «مختلط» (Complex)
	- اعداد «موهومي» (Imaginary)
	- اعداد «جبري» (Algebraic) و «غيرجبري» (Transcendental)
	- اعداد «كامل» (Perfect)
	- اعداد «سورئال» (Surreal)
	- اعداد «مثلثي» (Triangle) و «مربعي» (Square)
	- و ...

اعداد «گنگ» (Irrational) و «گويا» (Rational)

عدد «گويا» (Rational) عددي حقيقي است كه بتوان آن را به‌صورت كسري از دو عدد صحيح (نظير: و ) نوشت به‌عبارت ديگر داشته باشيم:

(رابطه‌ي 1)

در رياضيات اين گزاره صحيح نيست كه: «هر عددي «گويا» نباشد «گنگ» است». اعدادي نيز وجود دارند كه نه «گويا» هستند و نه «گنگ» نظير: اعداد بي‌نهايت كوچك.

اگر بخواهيم از اعداد «گنگ» مثال بزنيم مي‌توانيم به مواردي نظير ذيل اشاره كنيم:

- ، و ...

- عدد

- عدد «طلايي» (Golden Mean) .

- عدد e.

بسط دهدهي يك عدد «گنگ» نشان مي‌دهد كه داراي ويژگي‌هايي نظير ذيل هستند:

- بي‌پايان هستند.

- تكرارناپذير هستند يعني رقم‌هاي‌اشان الگويي غيرتكراري را نشان مي‌دهد.

مي‌توان اصل‌هايي نظير ذيل را درباره‌ي اعداد «گنگ» (Irrational) و «گويا» (Rational) اثبات كرد:

- بين دو عدد «گويا» نظير: ‌و حداقل يك عدد «گوياي» ديگر وجود دارد.

- بين دو عدد «گنگ» نظير: ‌و حداقل يك عدد «گوياي» ديگر وجود دارد.

- بين دو عدد «گويا» نظير: ‌و حداقل يك عدد «گنگ» ديگر وجود دارد.

- بين دو عدد «گنگ» نظير: ‌و حداقل يك عدد «گنگ» ديگر وجود دارد.

اجتماع اعداد «گويا» و «گنگ»، اعداد «حقيقي» است. به‌عبارت ديگر اعداد «حقيقي» ممكن است «گويا» يا «گنگ» باشند. «ژرژ كانتور» (George Cantor) رياضيدان آلماني نشان داده است در حالي كه بي‌نهايت عدد «گويا» و «گنگ» وجود دارد تعداد اعداد «گنگ» از اعداد «گويا» بيش‌تر است.

اعداد «حقيقي» (Real) و «مختلط» (Complex)

اعداد «مختلط» زوج‌هاي از دو عدد حقيقي هستند. توسعه‌ي نظريه‌ي اعداد «مختلط» از آن‌جا ناشي شد كه رابطه‌ي ساده‌ي ذيل در مجموعه‌ي اعداد حقيقي حل‌نشدني به‌نظر مي‌آمد:

(رابطه‌‌ي 2)

در مجموعه‌ي اعداد «مختلط» رابطه‌ي 2 داراي دو جواب است:

(رابطه‌ي 3)

بقيه‌ي اعداد «مختلط» از جمع اين عدد جديد با مجموعه‌ي اعداد صحيح به‌دست مي‌آيد. هم‌چنين لازم است به‌كار بردن عمليات حسابي معمول (جمع، تفريق و ضرب) و همه‌ي قوانين شناخته شده براي آن، جهت توسعه‌ي مجموعه‌ي اعداد «مختلط» بديهي فرض شود. بدين‌ترتيب اصطلاحاً گفته مي‌شود مجموعه‌ي اعداد «مختلط» نسبت به عمليات حسابي معمول، «بسته» است.

اعداد «مختلط» ويژگي‌هاي غيرمعمولي را به‌خصوص هنگام مشتق‌گيري از خود نشان مي‌دهند:

- مشتق‌گيري از اعداد «حقيقي» نقطه‌ي آغاز «آناليز حقيقي» (Real Analysis) و «حساب ديفرانسيل و انتگرال» (Calculus) است.

- مشتق‌گيري از اعداد «مختلط» ما را به «نظريه‌ي توابع تحليلي» (Analytic Function Theory) رهنمون مي‌كند.

اعداد «موهومي» (Imaginary)

هر عدد «مختلط» از يك زوج عدد حقيقي نظير: تشكيل شده است. در اين زوج، «قسمت حقيقي» و «قسمت موهومي» ناميده مي‌شود.

عدد «مختلط» با نقطه‌ي در سيستم مختصات استاندارد در صفحه مشخص مي‌شود. نقاط بر روي محور و نقاط بر روي محور قرار دارند. زماني كه از لحاظ جبري بر ماهيت اعداد «مختلط» تأكيد مي‌شود مرسوم است به‌شكل ذيل نوشته شود:

(رابطه‌ي 4)

بدين‌ترتيب بين «قسمت حقيقي»‌و «قسمت موهومي» تفاوت محسوسي قايل مي‌شوند. اما به هر حال موقعيت‌هايي وجود دارد كه كلمه‌ي «موهومي» توصيف‌هاي مناسبي از آن موقعيت‌ها را فراهم مي‌كند.

در صفحه، مجذور فاصله‌ي بين دو نقطه‌ي و به‌صورت ذيل بيان مي‌شود:

(رابطه‌ي 5)

اين عدد طبق «قضيه‌ي فيثاغورث» عددي كاملاً «طبيعي» است. پس دايره‌اي با شعاع به‌مركز از نقطه‌ي مي‌گذرد به‌گونه‌اي كه داشته باشيم:

(رابطه‌ي 6)

به‌عبارت ديگر داريم:

(رابطه‌ي 7)

اين معادله‌اي از يك دايره‌ي حقيقي در صفحه‌اي حقيقي (شامل: اعداد «مختلط») است به‌عنوان مثال: شكلي است كه توسط يك پرگار كشيده مي‌شود. بنابراين رياضيدانان در رابطه‌ي متوقف نشده‌اند بلكه مسأله‌ي مهم در اين رابطه، علامت عدد 1 در اين رابطه است.

رابطه‌ي جديد ‌مبدأي براي كشف‌هايي در 250 سال اخير شده است. در ادامه‌ي حالت‌هاي غيرمعمول، رياضيدانان تنها بر تغيير علامت‌‌هاي رابطه‌ي 7 متوقف نشدند. از آن‌جايي كه داريم:

(رابطه‌ي 8)

آن‌ها رابطه‌ي ذيل را نتيجه گرفتند:

(رابطه‌ي 9)

اين رابطه واقعاً مربوط به يك دايره‌‌ي تصوري است كه داراي يك مركز واقعي ‌با شعاع است.

علاوه بر اين، ممكن است گفته شود معادله‌ي 9 شامل چندجمله‌اي داراي جواب‌هاي واقعي ‌يا جواب‌هاي «مختلط» نيست. اما به هر حال براي سادگي دايره‌اي به مركز مبدأ مختصات درنظر مي‌گيريم لذا داريم:

(رابطه‌ي 10)

واضح است كه رابطه‌هاي 9 و 10 داراي جواب‌هايي است.

به‌عنوان مثال، زوج در رابطه‌ي 10 صدق كرده شايد واقعاً يك عدد «موهومي» ناميده شود.

اعداد كامل (Perfect)

هر عددي نظير: حداقل بر 1 و ‌بخش‌پذير است. جمع همه‌ي مقسوم‌عليه‌هاي عدد با نماد نشان داده مي‌شود.

اگر رابطه‌ي ذيل را داشته باشيم:

(رابطه‌ي 11)

كه در آن همگي «عدد اول» باشند، عدد«كامل» (Perfect) است اگر برابر جمع مقسوم‌عليه‌هاي عدد شامل 1 (به‌استثناي ) باشد. به‌عبارت ديگر عددي «كامل» (Perfect) است اگر داشته باشيم: